520 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

seront des racines de l’équation (1). Mais la série (3) ren-

ferme une infinité de termes, tandis que l’équation (r)

n’a que ; racines; il faut donc que quelques-unes des

quantités(3) se trouvent répétées un nombre infini de fois.
Supposons, par exemple, que l’on ait

mn =— A
0 x =— 040

ou
9"(6’”.r1) —0 OS
l’équation
e =0
à la racine 67 x, commune avec l’équation (1); elle admet-
tra donc toutes les racines de l’équation (1), et l’on aura

07x, — x = O
ou

D4 == 14=
On tire de là
Qe 0k mys

d’où 1l suit que les termes de la série (3), à partir du

niéne, se reproduiront dans le même ordre, et que cette

série ne contiendra que les » racines distinctes
(4) U RO DEn en 0TN

Ces n racines seront effectivement distinctes, si n est le
nombre de fois qu’il faut répéter sur x, l’opération dé-
signée par 0 pour reproduire xy.

Si l'on ap=n,la série (4) contient toutes les racines
de l’équation (1).

Supposons 4 >n, et soit x, une racine de l’équation (r)
qui ne fasse pas partie de la série (4), on fera voir,
comme précédemment, que toutes les quantités

(5) mn Da ts e d O es e

sont également racines de l’équation (1). Or je dis que,