COURS ΟAY.(‘.Ï'!!R[". SUPÉRIEURE.

CHAPITRE II

DES ÉQUATIONS ABÉLIENNES.

Des équations irréductibles dont deux racines sont tei-
lement liées entre elles, que l'une puisse s'exprimer

Ë ;
rationnellement par l’autre.

529. Après avoir démontré qu’il est impossible de
résoudre algébriquement les équations générales de de-
gré supérieur au quatrième, il paraîtrait naturel de cher-
cher à déterminer quelles sont les équations susceptibles
d’une telle résolution. Mais, avant d’aborder ce difficile
problème, 1l convient de presenter une étude complète
d’une classe remarquable d’équations que M. Krônecker
a nommées abéliennes.

Les équations auxquelles conduit le problème de la
division du cercle en un nombre premier p de parties
égales sont toujours résolubles par radicaux, et Gauss a
montré, dans ses ftecherches arithmetiques, que chacun
des radicaux dont l’expression des racines est composée
a pour indice l’un des facteurs premiers de p— 1. Ces
équations ont cette propriété, que chaque racine peut
s’exprimer rationnellement par l’une quelconque des
autres, et Abel, en partant de cette remarque, a fait voir
que, si deux racines d’une équation irréductible sont
tellement liées entre elles, que l’une puisse s’exprimer
rationnellement par l’autre, on peut toujours ramener la
résolution de l’équation à celle d’équations de degrés

moindres. Il y amême des cas où l’équation est résoluble