SECTION V. — CHAPITRE I. 479

Telle est l’expression de la racine de la résolvante en ?.
C’est une fonction linéaire des racines de la proposée,
qui peut prendre effectivement six valeurs égales deux à
deux et de signes contraires, par les substitutions des

racInés Xy, Us 42D -

515. Mérnope ve Lacnance. — D'après la théorie gé-
nérale que nous avons exposée aux n°° 501 et502, on peut
exprimer rationnellement les quatre racines de l’équa-
tion du quatrième degré par une fonction de ces racines
telle, que les 1.2.3.4 valeurs qu’on en déduit par les
substitutions soient différentes. Une pareille fonction
dépend d’une équation du vingt-quatrième degré ; mais
nous venons de voir, par l’analyse de la méthode de Fer-
rari, qu’il suffit, pour résoudre l’équation du quatrième
degré, de connaître une fonction des racines qui ait seu-
lement trois valeurs distinctes, ou six valeurs égales
deux à deux et de signes contraires.

La formation directe de l’équation dont dépend une
pareille fonction des racines de la proposée et la déter-
mination subséquente de ses racines constituent une
nouvelle méthode due à Lagrange, et que nous allons ac-
tuellement développer.

Soit l’équation
(1/ æ* +—p2+ r/.1”2 H 7œ-s s== 0;

et désignons par xo, X1, X2, X3 ses quatre racines. La
fonction la plus simple de ces racines, parmi celles qui
ne peuvent acquérir que trois valeurs, estxy X2 + X4 X3 5
posons donc

#= X0 F T4 %3

et commençons par chercher la valeur de y, ou plutôt

l’équation du troisième degré dont dépend cette quantité.