SECTION IV. — CHAPITRE V. 423
on pourra donner à la formule (|2‘; la forme plus simple
— l[£\"îï,

I1(V) désignant une fonction entière du degré v—1 aù
plus, dans laquelle les coefficients de V sont des fonc-

tions sy nu'-Lriquu.—; des variables x.

Sur la formation des fonctions de n variables,

qui admettent des substitutions données.

493. Le problème qui a pour objet de former les fonc-
tions de » variables, dont le nombre des valeurs distinctes
est égal à un nombre donné v, se ramène, d’après les
théorèmes précédents, à la détermination des systèmes
de substitutions conjuguées dont l'indice est égal à v.
Fffectivement, quand on connaîtra un tel système, on
obtiendra sans difficulté, par le théorème du n°491, une
fonction particulière V correspondante, qui aura préci-
sément v valeurs distinetes. Et, quantauxautres fonctions
semblables, elles seront toutes exprimables, comme on
vient de le voir, par des fonctions entières de V du degré
v—1, dans lesquelles les coefficients des puissances de V
seront des fonctions symétriques.

Considérons, par exemple, les fonctions qui ont deux
valeurs distinctes. Les substitutions de ces fonctions
forment un système conjugué dont l’indice est égal à 2 ;
ce système est unique, comme on l’avu au n° 429, et il
se compose des substitutions qui équivalent à un nombre
pair de transpositions. Les fonctions V dont nous nous
occupons sont donc semblables, et si l’on désigne par P

l’une d’elles, l’expression générale de V sera
V=—A—+BP,

À et B étant des fonctions symétriques. On peut prendre