SECTION IV. — CHAPITRE IV. 403

Remarque. —On obtient un système conjugué d’ordre
on si, en posant pÆ1=mn, on multiplie l’un par

l’autre les deux systèmes
L 2m > (rstine S
Z‘., OΔZ,7 0 /”'u,' E cis O\ÏZ //H Z,

<3,

PS

==

Cororraine IM. — Pour que deux substitutions li-
néaires qui ne sont pas des puissances d'une méme sub-
stitution soient échangeables, il faut et il suffit qu'elles
soient toutés deux du deuxième ordre, et que les indices
(réels ou imaginaires) que l'une des substitutions laisse

immobiles soient transposés par l’autre substitution.

En effet, soient ç et d deux substitutions linéaires qui
ne sont pas des puissances d’une même substitution. Si
ces substitutions sont échangeables, aucune d’elles ne
sera d’ordre p (n° 482); vz sera donc une puissance
d’une substitution 0= d’ordre p Æ 1. L’égalité

Voz = obz ou 9"Voz—|z

ne peut avoir lieu que si le groupe des puissances de
97!0pz coïncide avec celui des puissances de 0z; cela
exige que © z soit du deuxième ordre. Le même raisonne-
ment prouve que Ÿz est aussi du deuxième ordre; alors,
d’après le théorème qui précède, si z9 et =, désignent les
racines de la congruence ç2= = (mod. /;2), les conditions
pour que z et 4z soient échangeables sont

v3s =z (mod. p);
4,, }3 =z7 (mod.p);

'J;Z…
1l est évident que l’une de ces conditions entraîne l’autre.

484. Turorème IV. — Soient 0= une substitution
linéaire d'ordre p+1, pour le module p, et 5 = une sub-

stitution linéaire (/I,L(?[(’()/},(/!L(?. On pourra satisfaire à