SECTION IV. — CHAPITRE IV. 390

ordre et que les racines réelles ou imaginaires 30, ©
de la congruence

03=z (mml.p)
soient telles, que l'on ait

p3 =

l

31, 95 =3, (mod.p).

Dans le cas où l'ordre de 03 est p — 1, les racines z0, Z1
sont réelles et la dernière condition exprime que la sub-
stitution 9z transpose les deux indices que 0z laisse

immobiles.
Si l’égalité (1) a lieu, le système des puissances de
@-*99z, savoir
(2) z, 97!003, 97!020z, s.e,
coïneide avec le système
(3) 2, 0z, P a, ..
des puissances de 0z. Chacun des systèmes (») et (3)

renferme une substitution du deuxième ordre, et alors

ces deux substitutions doivent être égales; on a ainsi
p=es p=t p=!

—I p=1

 
 

(4 9"10 2 932—0 2 z3 O 03 0700 2

‘
——
7 Ï

-e

Réciproquement, si cette égalité (4) a lieu, les systèmes
(:>.) et (3) étant du même ordre p 1 et ayant une sub-

stitution commune, ils coïncident nécessairement.
PE
Si l'on remplace z par 9 * oz, l’égalité (4) devient
p=1 /::*:1
;

0 ? 00 u:_"f)/’i—"f:=u2"'
$ ]

2

 

p+1i

 

0 ? ozetoz ont donc le même carré, et il en résulte
que ces fonctions sont du deuxième ordre. En effet, si le

contraire avait lieu, les deux substitutions dont il s’agit