SECTION 1V. —. CHAPITRE IV. 393 des substitutions linéaires ne comprend que des substi- tutions circulaires, dont l’ordre est l’un des nombres Pp+1, Pp, Pp—1 avec les puissances des mêmes substi- tutions. Le nombre total des substitutions linéaires est (Pp+1)p(p—1), et parmi ces substitutions il y en a \ \ {/)—4—_1/£:_“/)——U dont le déterminant est résidu quadra- tique du module. De là résulte la proposition suivante : Tréorème. — L’ensemble de toutes les substitutions lineaires, relatives à un module premier p, constitue un système conjuguë trois fois transitif d'ordre (p+ 1)/}p(})-——l). Effectivement, le premier de ces systèmes renferme des substitutions circulaires d’ordre p+1, d’ordre p et d’ordre p— 1. Quant au second système, il renferme des substitutions circulaires d’ordre p avec des substitutions Ppeet régulières d’ordre » et parmi ces dernières on en peut toujours trouver une qui remplace un indice donné z) par un autre indice donné z,. Dans le éas de p — 5, on retrouve immédiatement le système triplement transitif de substitutions de six lettres dont nous nous sommes occupé au n° 452. De quelques propriétés des substitutions lineaires. 481. Tréorème I. — Si Ez désigne géncralement les p(p — 1) substitutions linéaires et entières, relati-