388 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

ATT. Si la fonction entière 4CE) représente une sub-
stitution de p indices incongrus suivant le module pre-

mier p, il est évident que la fonction

 

03—af(3+6) +9

représentera aussi une substitution. Or on peut disposer
de l’indéterminée «, de manière à réduire à l’unité le
coefficient de la plus haute puissance de z; l’indéter-
minée 6 permet ensuite de faire disparaître la puissance
de z immédiatement inférieure; enfin on peut disposer

de manière à faire évanouir le terme indépendant

®
ps

de z. La fonction 9z aura alors la forme
03=a,3+a2+...+Ha_337*+ >,

v étant égal ou inférieur à p — 2.

M. Hermite a donné aux substitutions de la forme 9z
le nom de substitutions réduites ; il est clair que ces sub-
stitutions en fourniront d’autres plus générales, f( :Î),

au moyen de la formule
> es e s @æ\ \ 4
_/\3/‘ÏŒO‘\…+U/-—f/,

où «, 6, y désignent des indéterminées. Il faut remar-
quer que les substitutions réduites ne déplacent pas l’in-
dice zéro.

Le théorème du n° 476 prend une forme plus simple
quand on l’applique aux fonctions réduites. Effective-
ment, si l’on élève la fonction 0z à la puissance de de-
m, et qu’on réduise au moyen de la congruence
zP= z (mod. p), on n’introduira aucun terme indépen-
dant de z; si donc on remplace ensuite zP-! par 1, le
coefficient de zP—! deviendra le terme indépendant de z.
On peut alors énoncer comme il suit le théorème établi
plus haut

Pour que la fonction réduite 9z puisse représenter