386 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

/(:‘) soit propre à representer une substitution de pin-
dices incongrus suivant le module premier p, il faut
et il suffit que, dans chacune des fonctions

‘){:\‘7 f} (:“‘* c…. ./})—3\:' ,

le coefficient de z7-! soit congru à zéro suivant le mo-
J 5
dule p.
En effet, soit
(1) Ff(=)= 49 H 4434 A 4.1F A S P—

p=2?

élevons ce polynôme à la mième puissance, et réduisons

ensuite par le moyen de la congruence
æ#=z (mod. p);

on aura un résultat de la forme

 

(2) (/(3)]"=fn(3)= ‘g'“+A{’“;+...+A‘/’/?I:"”‘ mod. p).
Posons en outre
(3) [F(0)]" + [# (1)]17 + 222 + (Ff(p —1)]?= Sn
si l’on donne à z, dans la formule (»), les valeurs
QU e p 1),
; 5 ; J
et qu’on ajoute les résultats, il viendra
;

(4) e … \‘/:{{1 (mod. p

ar zP-! est congru à zéro ou à 1, suivant que z est nul
ou différent de zéro, et la somme 1#*+— 25 +...+# ( p—1}
est congrue à zéro si p est inférieur à p — 1.

Cela posé, supposons que f (z) soit propre à repré-

senter une substitution. Alors la formule (3) se réduit à
0°H17 4H3 +e1H p — 1)"ZS m mod. p),

et par suite Sm est congrue à zéro suivant le module P>