SECTION 1V. — CHAPITRE IV. 37}

est non-résidu quadratique du module p. Alors la quan-
tité £ est imaginaire, et pour que a et b° soient réelles, 1l
faut, par les formules (28), que la racine : soit elle-même
imaginaire, ou qu’elle soit égale à —1; dans ce dernier
cas on a nécessairement n = 2. Je dis que généralement
le nombre n, qui marque l’ordre de la fonction 0z, est
égal à p+1 où à un diviseur de p+1. Si l'on an = 2,
la proposition est évidente, car 2 divise p +—1; supposons

donc n>2. Si l’on pose

a+sp

(33) e —a(4+1),
la congruence (26) devient

(34) #—2k+1=0 (mod. p).

On sait (n° 372, théorème III) que les racines de la con-
gruence irréductible (34) peuvent être représentées parz
et iP, et, comme le produit de ces racines est congruar,
on a

(35) ë=1 (mod. p);

ine peut donc être racine primitive de la congruence (25)
que si » est égal à p+1 ou à un diviseur de p +1.
D'après la congruence (34), k désigne la demi-somme
: é SS I ; ;
des deux racines conjuguées à et —> et 1l en résulte que
l

lon a

i—4—1{_ /‘—%—lt2_
_\ k—r *

 

 

BI

nous attribuerons au radical qui figure dans le second
membre de cette formule celle de ses deux valeurs qui
fait partie de la suite

 

en es 9