SECTION IV. — CHAPITRE 1V. BÔg

Pour satisfaire à la congruence (6), il faut et il suffit
que l’on ait

(18) Q=0 (mod.p);

mais, pour que » soit effectivement l'ordre de la fonc-
tion 0z, il faut en outre que pour toute valeur de m infé-
rieure à n la quantité Q, soit différente de zéro ; nous fai
sons ici abstraction du cas où 6z est du premier ordre,
c’est-à-dire du cas où 03 se réduit à z.

Nous nous proposons d’étudier les fonctions linéaires
6= au point de vue de leur ordre. Il convient dans cette
recherche de distinguer trois cas, suivant que la quan-
tité #2 est congrue à zéro suivant le module p, résidu
quadratique de ce module, ou non-résidu quadratique.

4G8. Examinons d’abord le premier cas où la quan-
tité t? est congrue à zéro suivant le module p; la con-

gruence (18) devient alors

z2n(a + b')?1=0 (mod. p).

On ne peut pas avoir a+ b'=0o (mod. p), car autre-
ment la condition t=0o (mod. p) se réduirait à

ab' — ba'= (mod. p);

le déterminant de 0 z serail nul et cette fonction se rédui-
rait à une constante. La congruence (18) ne peut donc
avoir lieu que si n est un multiple de p, et par consé-
quent, dans le cas qui nous occupe, l’ordre de la fonc-
tion linéaire 9z est toujours égal au module p. La con-
dition =0 (mod. p) donne

a+b=>/A (mod.p);
d’où il suit que le déterminant À est résidu quadratique
de p, et, par conséquent, la fonction 0z appartient au
prœnînr genre.

d. — Alg. sup., 1l >