SECTION IV. — CHAPITRE IV. 365

;3 par 0z le résultat 69, = que l’on obtient en exécutant
d’abord sur la variable z l’opération désignée par 6,
puis sur le résultat 0, z l’opération désignée par 6 ; cette
définition s’étend naturellement au cas de trois, de qua-
tre, etc., fonctions linéaires. Le produit de m fonctions
linéaires égales à 0 z, c’est-à-dire le résultat que l’on ob-
tient en exécutant m fois sur z l’opération 9, sera la
m" puissance de 0 z, et nous la représenterons par 9” z

Le produit de deux fonctions linéaires a pour déter-
minant le produit des déterminants des facteurs. Si, en

effet, on pose

ds 5 (!:—+—/}3 Æ:al:+lzl,
d "! ; a'l z—+ be
On aura
(aa, + ba',)=+ (ab, + bb',) Az+— B

0.3 —
00,3 —

 

[î(l/(11 + /)'u'J:—+— ((z' b, —+—[/l]J = k 2 B’,

(AB' — BA/) = (ab! — ba') (a,b, — b,d',).

On conclut de là que le produit de tant de fonctions
linéaires que l’on voudra est une fonction linéaire dont le
déterminant est égal au produit des déterminants des
facteurs ; d’où il suit que la fonction produit appartiendra
au premier ou au deuxième genre, suivant que le nombre
des facteurs du deuxième genre sera pair ou impair.

Il est évident que l’ensemble de toutes les fonctions
linéaires forme un groupe tel, que le produitde plusieurs
fonctions du groupe fait aussi partie de ce groupe. On
voit par ce qui précède qu'il en est de même de l’en-
semble des seules fonctions linéaires du premier genre,
mais non pas de l’enser ’!le des seules fonctions du

deuxième genre.

466. Considérons la série indéfinie

(5) RR CR e RE E