SECTION IV. — CHAPITRE IV. 3()3

Des fonctions rationnelles linéaires prises suivant un

module /;/'()/)1[01'.

464. Nous allons considérer ici, à un point de vue
particulier, les fonctions rationnelles linéaires de la
forme
az—+b

’]‘1 0Ï—: T7 S
k a.zs+0

dans laquelle z est une variable indépendante. Nous
supposerons que les constantes a, b, a', b" soient des
nombres entiers positifs, nuls ou négatifs, et nous con-
viendrons, en outre, de prendre les résultats. suivant un
module premier impair p; en d’autres termes, nous re-
garderons comme équivalents les entiers qui sont con-
grus relativement au module. Les développements qui
vont suivre conduisent à des conséquences intéressantes
pour la théorie des nombres et qui sont surtout utiles
dans la théorie des substitutions ; je les ai présentés, pour
la première fois, dans un article inséré au tome XILVIII
des Comptes rendus de l'Académie des Sciences.
Comme nousfaisons abstraction du cas où 0= se réduit
à une constante, la différence ab" — ba’ ne sera jamais
congrue à zéro suivant le module p ; cette différence sera
dite le déterminant de la fonction linéaire 903. On peut,
sans changer cette fonction, multiplier les quatre con-
stantes a, b, a', b'par un même nombre Æ; le détermi-
nant se trouve alors mulüplié par A?, et il sera, après
comme avant la multiplication, résidu auadratique ou
non-résidu quadratique de p. D'après cela, nos fonctions
linéaires peuvent être classées en deux genres; le pre-
mier genre comprendra les fonctions dont le détermi-
nant est résidu quadratique, tandis que celles dont le

déterminant est non-résidu constitueront le deuxième