SECTION IV. — CHAPITRE I. 355

à 5. Nous nous référons pour le cas de n 5 au théo-
rème du n° 445.
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3° Le système G est au moins trois fois transitif. —

Soient @p, 4;, - . « Gn les lettres données et
V, 191 40Dg5 16 se Sinitt

les substitutions de G. Désignons aussi par T; la trans-
position (a9 a;). Si l’on multiplie la droite, pour fixer les
idées, par

TRn 1.
les substitutions de G, on obtiendra nu produits qui
seront distincts, si l’indice de G est supérieur à 2; car

si l’on avait

 

on en conclurait

 

qrip _— =4
y =

et par conséquent la substitution T* T; ferait partie de G.
Or ce produit est une substitution circulaire de trois
lottres, à moins que l’un de ses facteurs ne soit égalàr,et
dans ce cas elle se réduit à une transposition. D'ailleurs,
dans notre hypothèse, le système G ne peut renfermer
une telle substitution (n° 455, Corollaire); donc les
np produits que nous avons formés sont distincts, ce qui
exige que ny ne soit pas supérieur à 1.2...n, c’est-à-

dire que l’indice de G soit au moins égal à n.

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