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354 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

à n lettres ne peut être en même temps supérieur à 2 et
inférieur à n, à moins que n ne soit égal à 4. Pour cela
nous distinguerons trois cas.

19 Le système G est simplement transitif. — Dans ce
cas le système G’, qui comprend celles des substitutions
de G qui ne déplacent que n—1lettres, est intransitif et
son indice est égal ou supérieur à n —1. Cet indice est
aussi celui de G, et je dis qu’il ne peut pas être égal à
n—1 si n est > 4. En effet, si G et G'avaient n — 1
pour indice, le système G’(n° 459) serait formé par les
substitutions de n— > lettres, etces substitutions feraient
partie de G; or le système G ne peut pas contenir toutes
les substitutions de n— 1 lettres, car autrement il ne
serait pas transitif, ou il serait composé de toutes les
substitutions des n lettres, et alors son indice serait égal
à 1. Cela étant, si m est >4, on ne peut pas admettre que
le système G, d’indice n—1, renferme toutes les substi-
tutions de n — » lettres ; car, si cela avait lieu, l’indice

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de ce système serait égal à l’un des nombres -Ïë)_'—lïs
n(n—1)(n° 441, Corollaire), ce qui implique contra-
diction. Donc, si n est > 4, l’indice de G’ ou de G est
au moins égal (n° 459) au plus petit des deux nombres
(n —1)(R—3)

2(n—1), * É - Par suite cet indice est supé-
rieur à n.
29 Le système G est deux fois transitif. — Alors le

système G'est simplement transitif, et si l’on an—1>4,
l’indice de ce système, qui est aussi celui de G, sera au
moins égal au plus petit des deux nombres

2(n—2)=n+(rn—4),

{(a—2)(r— 3) n—1)(rn —6)

—— — r7—+————
À >

 

lesquels ne sont pas inférieurs à n, quand n est supérieur