SECTION IV. — CHAPITRE HI. 353
459. Il faut remarquer que la formule (2) peut s’écrire

n(n —1)...(#—e+1)

g —, JL>€’ ,

 

Dn 22 u

et, comme æ ne peut avoir que les valeurs 1, 2,…, (z—1),
le premier facteur de cette expression de Ç est l’un des

nombres

n n(n——l)
— —— » <,
I r.2

dont le minimum est ». D’ailleurs . et G/ sont des en-
tiers, donc G est au moins égal à n. On voit même que,
pour avoir Ç = n, il faut que l’on ait

—LR 1 QS e
;

et alors le système proposé G est évidemment composé
des 1.93 . (R — 1) substitutions de n — 1 lettres.

La formule précédente montre encore que, si Ç est su-
périeur à n, cet indice est au moins égal à la plus petite
des valeurs

n (n — I)

27n, ——"
2

Sur la limite des indices supérieurs à 2, dans le cas
des systèmes transitifs.

460. Nous présenterons ici avec quelques modifications
la démonstration que Cauchy a donnée du théorème de
M. Bertrand, dans un Mémoire inséré au tome XXI des
Comptes rendus de l’Académie des Sciences.

D'après ce qui précède, l'indice d’un système intransi-
f ne peut être inférieur au nombre des lettres; donc,
pour établir le théorème que nous avons en vue, il suffit
de considérer les systèmes transitifs.

Je dis que l’indice d’un système transitif G relatif

2

S. — Ais, sup., 1I, 23