SECTION IV. — CHAPITRE 1IT. 341

ba, .…, bm, €t, en conséquence, elles peuvent substituer
ces dernières lettres à m lettres quelconques.

Il est évident que le système de toutes les substitutions
formées avec n lettres estn—1 fois transitif, et que le
système qui comprend toutes les substitutions du pre-
mier genre formées avec les mêmes lettres est n— » fois
transitif.

On voit aussi qu’un système de substitutions conju-
guées formées avec n lettres est transitif, quand 1l ren-
ferme une substitution circulaire d’ordre n; mais cette
condition n’est pas nécessaire. En général, un système
conjugué de substitutions de n lettres est m fois transi-
tif, quand il renferme mm substitutions circulaires des
ordres respectifs n, n—1, … #n — m +—1. Par exemple,
le système d’indice 6, dont nous nous sommes occupé au
n° 452 et qui est composé de 120 substitutions conju-
guées de six lettres, est trois fois transitif, car 1l admet

trois substitutions circulaires des ordres respectifs 6,5, 4.

454. Tuéorème I. — L’ordre d’un système m fois
transitif, de substitutions conjuguées de n lettres, est un
multipleden(n—1)...(n —m +1); en d’autres termes,

l’indice du système est un diviseur du produit
1.2.3...(7—m).

En effet, soient Ay, Ay, A»,... les n(n—1)...(n—m+1)

2H‘l‘îlll_‘_{4‘lll(‘lllfi m à m (lll(? l()ll ])Cllt Îbl‘lll(‘l‘ avec lL‘S

n lettres données, et

:elles des substitutions du système proposé G qui rem-
placent les lettres de l'arrangement A; par celles qui
occupent respectivement les mêmes rangs dans A ;. Dési-

gnons, en outre, par T l’une des substitutions de G qui