340 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

sant y; après avoir répété cette opération plusieurs fois,
1l est clair que P;S" se trouvera rem placé par une expres-
sion de la forme S4P,. Le système des substitutions P et
celui des puissances de S étant échangeables entre eux,
on obtiendra, en les multipliant l’un par l’autre, un sys-
tème conjugué d’ordre 24 x 5 = 130 ou d’indice 6.

Il importe de remarquer aussi que le système dont
nous venons de prouver l’existence comprend des substi-
tutions du premier genre et des substitutions du deuxième
genre en nombre égal. En conséquence, les substitutions
du premier genre constitueront un système conjugué
d'ordre 60 et dont l’indice sera égal à 12.

Des systèmes transitifs de substitutions conjuguces.

‘

453. Lorsque les substitutions d’un système conjugué
permettent de substituer successivement l’une des lettres
à chacune des autres, le système est dit transitif. Il est
intransitif dans le cas contraire. Cette distinction des
systèmes conjugués en transitifs et intransitifs est due à
Cauchy ; elle a une très-grande importance dans la théo-
rie qui nous occupe.

Plus généralement, si les substitutions d’un système
conjugué permettent de substituer m des lettres données
à mn lettres quelconques, nous dirons que le système estm
fois transitif.

Siun système de substitutions conjuguées est m fois
transitif, les substitutions du système permettent de sub-
stituer m lettres qzm/conqucs à m lettres quelconques. En
eflet, le système proposé étant supposé m fois transitif,
ily a m lettres à,, ds, .. -> Un Qu’on peut substituer à
m autres quelconques b,, ba, …, bm, distinctes ou non
des premières. Réciproquement, les substitutions du sys-

tème permettent de 1‘Cmplac€1‘ ,, A9, +.., Om par b,,