SECTION IV, — CHAPITRE IIT.

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Soient
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les lettres données, et supposons que le système G ren-

ferme les puiss;mccs de la substitution circulaire

U— (2, us d).

/

Le même système doit renfermer une substitution cireu-
laire U,, formée avec les quatre lettres a, b, c, e; on peut
supposer que à soit mis au premier rang dans U,; mais
alors c ne pourra occuper la troisième place, car, si cela
avait lieu, le produit des deux substitutions régulières U?
et U*, qui auraient un facteur (a, c) commun, ne con-
tiendrait que deux transpositions ayant une lettre com-
mune , et il se réduirait à une substitution circulaire
du troisième ordre, laquelle ne peut figurer dans G. Il
faut donc que c oceupe dans U, la deuxième ou la qua-
trième place, et alors il occupera dans U; la quatrième
ou la deuxième. J'appelleraiU, celle de ces deux substitu-
tions dans laquelle c occupe la quatrième place: on aura

donc

U,=(a, b,e,c) ou U,—(a,e,b,c);

pnn}ill«‘m@nl, le système G renferme deux substitutions
circulaires du quatrième ordre dont chacune est le cube
de l’autre, et qui sont formées avec les quatre lettres a,
bues fx 36 désignerai par Us celle de ces substitutions

dans laquelle c occupe la deuxième place, et l’on aura
U,=(a,e, f, b) ou U,—(a,e 6,7).

Mais, si l’on prend la première valeur de U, 11 faudra
prvu«h‘«‘ la deuxième valeur de U,, et inversement, car
autrement U? et U; auraient une transpositioncommune,
etleur produit se réduirait à une substitution circulaire
du troisième ordre. Rien ne distinguant jusqu'ici les let-

S. — Als. sup., |l, 23