336 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

trième ordre, des substitutions régulières du deuxième
ordre formées de deux cycles, ou des transpositions. Mais
il ne saurait y avoir de transpositions, car le système en-
tier des substitutions des six lettres n’en saurait contenir,
comme on l'a vu dans la démonstration du lemme du
n° 448, lemme qui embrasse le cas que nous considérons
ici. Sile système d’ordre 4 dont il est question n’est pas
composé des quatre puissances d’une substitution cireu-
laire du quatrième ordre, il comprendra, outre l’unité,
les trois substitutions régulières que l’on peut former
avec les quatre lettres; donc on y trouvera, dans tous les
cas, une substitution régulière formée de deux transposi-
tions. Et, comme il y à quinze combinaisons de six lettres
quatre à quatre, le système conjugué G dont nous nous
occupons doitcomprendre quinze substitutionsrégulières
formées chacune de deux transpositions. Or deux substi-
tutions de cette espèce qui auraient un cycle commun et
une troisième lettre commune ne peuvent figurer dans G,
car le produit de deux telles substitutions est évidemment
une substitution circulaire du troisième ordre ; donc, si
l’on distribue les quinze transpositions des six lettres en
cinq groupes de trois transpositions, de telle manière que
les six lettres figurent dans les trois transpositions d’un
même groupe, on obtiendra les quinze substitutions ré-
gulières de G, en faisant les produits deux à deux des
transpositions contenues dans un même groupe. Toute
autre substitution régulière de la même espèce a néces-
sairement un cycle commun et une troisième lettre com-
mune avec l’une des quinze dont nous venons de parler,
et par conséquent elle ne peut pas être contenue dans Cc
ainsi ce système ne renferme pas les trois substitutions
régulières formées avec les quatre mêmes lettres, et, par
suite, il contient une substitution circulaire de ces quatre
lettres.