SECTION IV. — CHAPITRE IL. 300

nombres 1, 2, n—2,n— 1, #. Le cas où cet indice
serait l’un des nombres n— 2, # — 1 se ramène immé-
diatement, par le lemme IT, au cas où 1l serait r Où 3;
or je dis que ce dernier cas ne peut avoir lieu; car, si
l’indice de G/ est : ou », l’indice de G, sera nécessaire-
ment l’un des nombres 1, 2, (R—1), 2(n—1) (n° 440)
dont aucun ne peut être égal à n. L'indice de G‘est donce
égal à n; mais alors, d’après le lemme I, on pourrait for-

mer un système conjugué de substitutions de n— 2 let-
gre 0R ; ; ; ;
tres, dont l’indice serait —, ce qui est 1m}…x5l…(=, puis-
; Z ;

que l’on a

Donc notre dernière hypothèse est inadmissible, si le
nombre » est supérieur à 6. Elle peut au contraire avoir
lieu quand n =6, ainsi que nous allons l’établir; mais
elle est impossible quand n7= 4, puisque, 4 n'étant pas
un diviseur du produit r1 .2.3, l’indice de Gy ne peut pas
être égal à 4. Ainsi le cas de n— 6 constitue la seule ex-
ception à la deuxième partie de notre théorème.

Du système conjugue d’indice 6 qui comprend 120 sub-
, 5 / /
stitutions de six lettres, et qui n'est pas /'C!;-,:,,{;/,(l,v Js

190 substitutions de cinq lettres.

452. 11 résulte de la démonstration précédente que, si
un tel système existe, celles de ses substitutions qui ne
déplacent pas deux lettres quelconques forment un sys-
tème conjugué de substitutions de quatre lettres, dont
l’indice est G, et dont l’ordre est, en conséquence,

2 F
1.2.3. ; ; E ;
———(ÿl ou 4. Ce système d’ordre 4 ne peut renfermer,
5 ;
outre l’unité, que des substitutions circulaires du qua-