334 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
19 L’indice de G, est 1. — Dansce cas, l’indice de G
est égal àn (n° 440, Corollaire), puisqu’on suppose cet
D ,] l PI
indice différent de 1.

 

2° L'indice de G, est 2. — Dans ce cas, l’indice de G
est égal à 27 (n° 440), puisqu’on le suppose différent
de ».

3° L'indice de G, estn—1. — Dans ce cas, comme
n—1 est impair, le système G9 (n° 450) est formé par
toutes les substitutions de n — » lettres, et son indice,
qui est plus grand que 1, est égal (n°° 440 et 441) à l’un
n(n—1)

 

des nombres n, » R(n— 1), pourvu cependant

que n soit >4 (*). En outre, cet indice ne peut être

 

, x ( Ù , ‘

égal à n que dans le cas où G renferme toutes les substi-
£

tutions de n—1 lettres.

4° L’indice de Gy estn. — Alors l’indice de G est
égal ou supérieur à n ; 1l nous reste à examiner le cas où
cet indice est précisément égal à n.

Remarquons d'abord que la première partie du théo-
rème énoncé se trouve établie par ce qui précède, savoir:
Si le nombre pair n est supérieur à 4, l’indice d’un
système conjugue, relatif à n lettres, ne peut étre à la
fois supérieur à 2 et inférieur à n. Dans ce qui va sui-

Es
rr

vre, nous supposerons n— 2 >4, et, par suite, n >6.

—2008

Désignons par G’le système conjugué formé par celles

des substitutions de G, qui ne déplacent pas l’une des

n—1 lettres relatives à Gp, lettre qui peut d’ailleurs

S
PEs

être choisie à volonté. L'indice de G’ ne peut être à la
fois supérieur à 2 et inférieur àn—2, d'ailleurs il n’est
pas supérieur à n; donc il a pour valeur l’un des cinq

 

(*) Nous avons vu (n° 439) qu’on peut former avec quatre lettres un
système de substitutions conjuguées dont l'ordre est 8 et dont l’indice est

consèquemment égal à 3.