SECTION IV,. — CHAPITRE III. 33[

Tnéorème I. — Le nombre n étant ünpair, si l’indice
d'un système de substitutions conjuguées, formées avec
n lettres, est plus grand que 2, cet indice est (Ëg(1l ou
supérieur à n; et, (/!L(HZ(] il est (f'g(Ll àn,le système con-
jugué est composé de toutes les substitutions que l’on

/)(*11[/Ë)/'…(%/' avecn — 1 lettres.

 

Le théorème est évident dans le cas de n=3 ; car, l'in-

° 1 ; j* p . \ A , EN
dice du système étant supérieur à 54 1l est nécessairrement
égal ou supérieur à 3. En outre, sicet indice est égal à 3,

2

l’ordre du système est I—ÎÎÎ ou 2, qui estun nombre pre-
mier. Le système est alors formé des deux puissances
d’une sübstitution circulaire du deuxième ordre, c'est-
à-dire d’une transposition.

[l résulte de là que, pour établir le théorème énoncé
dans toute sa généralité, il suffit de prouver que, s’il a
lieu pour n = n', il subsiste aussi pour n=n+2. En
d’autres termes, nous pouvons admettre que le théorème
a lieu quand on remplace, dans son énoncé, n par n—3,
le nombre » étant un nombre impair, au moins égal à 5.

Soient G le système conjugué donné dont nous suppo-
sons l'indice supérieur à 2, el G'le système conjugué
composé de celles des substitutions de G qui ne déplacent
pas deux lettres choisies arbitrairement parmi les » lettres
données. D'après ce que nous admettons, l’indice de G”
ne peut être en même temps Sll}!("l‘it,‘!ll‘ à 2 et inférieur à
n — 2 ; cet indice sera donc l’un des cinq nombres

1, 2, R— 2, R—T, ÀR,

ou bien il sera supérieur à n, auquel cas l’indice de G
sera lui-même plus grand que n. Nous allons examiner
successivement ces cinq hy pothèses.

1° L’indice de G' est 1.— Comme, par hypothèse, l’in-

dice de G n’est pas 1, cet indice est égal (n°° 440 et kA1,
: ; gatt