324 COURS D’AIGÈBRE SUPÉRIEURE.

Démonstration nouvelle du théorème relatif à la limite
inferieure des indices plus grands que 2.

4A8. Je vais faire connaître actuellement la démons-
tration par laquelle je suis parvenu à établir directement
le théorème de M. Bertrand ; j'ai publié cette démonstra-
tion pour la première fois dans le tome XV du Journal
de Mathématiques pures et appliquées (1"° série), et je
l’ai reproduite dans la précédente édition de cet Ouvrage.
Mais, en la présentant ici, je profiterai des secours que
m’offrent les propositions établies dans le Chapitre pré-
cédent, ce qui me permettra d'apporter quelques simpli-
fications; la démonstration dont il s’agit sera fondée sur
deux lemmes que nous établirons d’abord.

Lemme I. — Soïent G un système de substitutions con-
jug‘zw'cs_/ùr1urè'('s avecn lettres ao, @,, A2, … , An_3, 6o, bi,
et G' le système conjugué formé avec celles des substi-
tutions de G qui ne déplacent aucune des deux lettres
by, by. Si les systèmes G et G' ont un même indice y
supérieur à 1, on pourra construire avec les n — » let-

tres d9, A4, - « <, An_3 UR système de substitutions conju-
; T b 7 1

guées dont l'indice sera ‘;; d'où il suit que le nombre y

est toujours pair.

Désignons par vet p les ordres respectifs des systèmes G

= E ; T D A
et G’. Les indices de ces systèmes seront —"""" et
A v
1.2.3...(Rn—2) ; $ ;
e — ; comme ils sont égaux, par hypothèse,

 

p

ï

on aura
v:n(lz—ljp.
Posons
e 18 8 S

G/=l, Sl’ Sz, Sä, …. Sç—l'