SECTION IV. — CHAPITRE H, 323

n
que —

2

soit un nombre premier; dans ce cas, on peut

poser p=— -; telest le cas de n=6. Mais, quand il existe

MIN

un nombre premier p effectivement compris entre — et

MIR

n — 2, le raisonnement que nous avons développé peut
servir à démontrer une proposition nouvelle fort impor-
tante. Effectivement, pour établir que le système G pos-
sède l’une au moins des substitutions T et U, il n’est pas
nécessaire de supposer, comme nous l’avons fait, que l'in-
dice de G soit inférieur à n ; la même chose a lieu encore
n ; ë ä ; n
quand cet indice est égal à n, pourvu que l’on ait p> =
et l’on arrive toujours à cette conséquence que l’indice
de G'est 1 ou 2. Cet indice ne peut être égal à 2, car 1l
en résulterail, comme on l’a vu, que l’indice de G serait
lui-même égal à 2, ce qui est contre l’hypothèse; l’in-
dice de G” est donc égal à 1; mais alors (n° 441, Corol-
laire) l'indice de G ne peut pas être égal à n, à moins
que ce système ne soit formé par les substitutions de
n — 1 lettres. De là résulte le théorème suivant :
Tuéorème. — Si l’indice d’un système de substitu-

tions conjuguées est (?'g(L/ au nombre n des lettres, le

 

système se compose @s V On cCT 9 substitutions

/Ù/'II1Ü(Ï." Aavec n —I 1(![//'(?.\‘.

La démonstration ne s'applique pas aux cas de
n—3, 4, 5, 6, 7. Le théorème a été démontré par Abel
pourn=5 (OFuvres complètes, t. 1°*, p- 19),et il a lieu
aussi pour les cas de n= 4, 5, 7, comme on le verra plus
loin. Le seul cas de #= 6 fait exception ; nous établi-
rons qu’il existe effectivement un système de substitutions
conjuguées de 6 lettres dont l’indice est «

gal à 6 et qui

,
;

renferme des substitutions cireulaires des ordres 4, 5, 6.