392 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

cet indice serait au moins égal à n (n° 441, Corollaire),

ce qui est contre l'hypothèse. Donc l’ordre de G” est

no n —0 ; P ER ;
—, et, par suite, l'indice de ce système est
° .

0s

gal

à

v

Le système G’n’a ainsi que des substitutions du pre-
1nier genre, et,en conséquence, le système G ne renferme
aucune des transpositions que l’on peut former avec les
lettres relatives à G’. Désignons par U’ l’une quelconque
de ces transpositions et par T’ une substitution circulaire
d’ordre p qui ne contienne aucune des lettres de U',
mais qui7 au contraire, renferme les deux lettres de U,
ou au moins l’une d’elles. Comme la transposition U" ne
se trouve pas dans G, la substitution T” appartiendra à
ce système, comme on l’a vu plus haut, d’où 1l suit que
le système G renferme toutes les substitutions circulaires

d’ordre p que l’on peut former avec les n lettres données ;

T
il contient doncles — substitutions du premier genre que
; !
l’on peut former avec ces lettres. Il est évident d'’ailleurs
que le système Gne peut renfermer d’autres substitutions
puisqu'il ne possède pas les substitutions du deuxième

genre formées avec les n — 2 lettres relatives à G’; donc
T
l’ordre de ce système est égal à = et son indice est égal
} 8 ; :
à 2( *).
441. La démonstration précédente subsiste quand 1l
n

n’existe pas de nombre premier entre — ctn—2, pourvu
2

 

(*) On aurait pu tirer immédiatement cette conclusion des proposi-
tions établies aux n°° 440 et 441 ; mais il nous a paru convenable de con-
server dans son intégrité le raisonnement par lequel M. Bertrand a établi

sou theorème.