SECTION 1V. — CHAPITRE I. 3ai

qui n’ont pas de lettres communes. De cette égalité on
trre, à cause de U = U,

TU —S,S7},

d’où 1l résulte que la substitution TU appartient au
système G, et il en est de même. du carré

J

T2e—26T]2 — T2e—26

de cette substitution. La différence « — 6 peut être nulle,
et alors la substitution U appartient au système G; si
a — 6 n'est pas nulle, la substitution T* appartient
au système G, ainsi que toutes ses puissances, parmi les-
quelles figure T, comme dans l’hypothèse précédente.
Dans ce dernier cas, T et T-‘U appartiennent au sys-
tème G, il en est de même de U.

On voit en résumé que l’une au moins des deux sub-
stitutions T et U appartient au système G.

Supposons maintenant que l’indice du système pro-
posé ne se réduise pas à 1, ou que l’ordre de ce système
ne soit pas égal à N. Alors, parmi les transpositions que
l’on peut former avec les n lettres données, il y en aura
au moins une qui ne fera pas partie des substitutions du
système G; nous prendrons pour U cette transposition,
et, d’après ce qui vient d’être établi, toute substitution
circulaire T d’ordre p, formée avec celles des n —> lettres
données qui ne figurent pas dans U, appartiendra au sys-
tème G. Celles des substitutions de G qui ne déplacent
pas les deux lettres de la transposition U forment évidem-
ment un système conjugué G, et, puisque ce svstème G’
renferme toutes les substitutions circulaires d’ordre P>
son ordre est égal à 1.2.3...(n—9») où à la moitié de
ce nombre (n° 430). Mais le premier cas ne peut avoir
lieu, car autrement, l’indice de G étant supérieur à x,

S. — Àls. sup., 1. 2