SECTION IV, — CHAPITRE TIII. 3I9

sairement une puissance TT de T; il contient donc toutes
les puissances de T. Mais l’ordre de la substitution cir-
culaire T étant un nombre premier, cette substitution
fait partie de la suite des puissances de T*, et en consé-
quence elle appartient au système G.

Le système G renferme donc toutes les substitutions

circulaires d’ordre p, et il s'’ensuit (n° 430) qu’il com-

prend N ou — substitutions; en d'autres termes, son
2,
indice est égal à 1 OÙ à 2.
446. Tuéorème pe M. Bertrand. — L'indice d’un
système de substitutions (‘(')Hj((g!((ï{æs‘, formees avec
n lettres, ne peut être en méme temps supz:'1‘icuz' à 2et

inferieur à n.

Ainsi que nous l’avons déjà dit, M. Bertrand admet

ce postulatum : Si nest > 7, ily à au moins un nombre
« . n
premier compris entre — et n — 2,
2

Cela posé, considérons un système G composé des

substitutions conjuguées
e S
15919902 +-45 Du—19

; ; e TN
formées avec n lettres, et supposons que l’indice — de ce
u
!

système soit inférieur à n. l)(‘sig'n(…s par p un nombre
- - n ° °
premier compris entre — etn—2,el prenons arbitraire-
p3 )

ment p + 2 lettres parmi les 7 lettres données ; formons
avec p de ces p + 2 lettres une substitution circulaire T
d’ordre p, et avec les deux lettres restantes une transpo-
siton U. Cela posé, multiplions les substitutions du sys-
tème G à gauche, par exemple, par les p puissances (chT,

puis ies produits obtenus par les deux puissances de U;