SECTION IV. — CHAPITRE III. 317

recours à aucun postu!atum, les théorèmes suivants (*) :

1P L'indice d’un système de substitutions conjuguces,
ful'm(:'ras‘ avec n lettres, ne peut étre en même temps
supérieur à 2 et inférieur à n, à moins que n ne soit
é£;‘(!l à 4.

29 Si l'indice d'un sy stème conjugué est précisément
égal au nombre n des lettres, le système est formé de
toutes les substitutions de n — 1 lettres, à moins que n
ne soit égal à 6.

3° Si l’indice d’un système conjugue est supérieur au
nombre n des lettres, il est au moins égal à an, pourvu
que n soit >8.

4° St l’indice d’un système conjugué, l'@lnl{f à
n lettres, est supérieur à 2n, il est au moins égal à
n(n—1)

— —— > pourvu que n soit >12.

Les démonstrations que j’ai données deces propositions
ne laissent rien à désirer sous le rapport de la rigueur.
Cauchy, de son côté, avait repris la question et il avait
obtenu d’autres démonstrations des mêmes théorèmes ;
ces démonstrations reposent sur des notions nouvelles
qui ont une grande importance dans la théorie dont nous
nous occupons, et que nous ne pouvons passer sous
silence. Mais nous croyons devoir rappeler d’abord les
considérations dont l’illustre géomètre a fait usage, dans
son premier Mémoire, pour établir la première des pro-
positions énoncées dans cet aperçu, ainsi que l’analyse
ingénieuse et élégante par laquelle M. Bertrand est par-

venu à démontrer son théorème.

n e TT
A45. Tréorème p£e Caucuyv. — L'indice d’un sS—
tème de substitutions conjuguées, formées avec n lettres,

(*) Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1" série, t. XV.