316 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Le raisonnement dont M. Bertrand a fait usage con-
duit à cet autre théorème démontré auparavant par Abel,

dans le cas de n = 5.

Si l’indice d’un système de substitutions conjuguées,
formees avec n lettres, est egalàn, le système conjugué
se compose des 1.2.. -(n —1) substitutions de n — 1

lettres.

Dans une Note qui fait partie du XXXII° Cahier du

Journal de l’Keole Polytechnique, j'ai fait voir que si,

n . «
entre 7#— 2 et —, il n’'y a aucun nombre premier, le
= J

. n °
théorème de M. Bertrand subsiste, pourvu que = soit un

nombre premier. La démonstration n’est en aucune facon
modifiée ; seulement on ne peut plus conclure ce corol-
laire, que, si l’indice d’un système conjugué est égal au
nombre » des lettres, le système est formé par les
1.2...(R—1) substitutions de n — 1 lettres.

Cette remarque a quelque importance, car 1l en résulte
que le théorème de M. Bertrand comprend celui (|«*(]uu(‘ln)‘
pour le cas de n= 6, et rend, par suite, inutile la dé-
monstration un peu compliquée qui se rapporte à ce cas
particulier. En effet, sin=6, il n’y a aucun nombre

° n a n
premier entre n— 23 ct ;; mais A ou 3 est un nombre
premier.

M. Bertrand a démontré aussi, dans son Mémoire, le

théorème suivant :

Si l'indice d'un système de substitutions conjuguées,
formées avec n lettres, n étant > 9, est supérieur à n,

cel indice est au moins c'grll à on.

Plus tard, dans un Mémoire que j'ai présenté à l’Aca-
démie des Sciences, en 1549, j'ai démontré, sans avoir