SECTION IV. — CHAPITRE I. 315

suite un théorème plus général duquel 1l résulte que :

L'indice d’un système de substitutions conjuguées,
formées avec n lettres, ne peut étre en méme temps
supérieur à 2 et inférieur au plus grand des nombres
premiers qui ne surpassent pas n.

Et, dans le cas où n est un nombre premier, on a ce
théorème :

L'indice d’un système de substitutions conjuguées,
Jormées avec n lettres, n étant un nombre premier, ne
peut étre en même temps supérieur à 2 et inférieur à n.

Cauchy donne à entendre, dans son Mémoire, qu’il
chercha à étendre le précédent théorème au cas où n est
un nombre composé, mais il ne put d’abord y parvenir
que dans le cas de n=6. Il a, en effet, démontré que :

L'indice d'un système de substitutions conjuguées,
_/È)I'mc'c:; avec six lett1‘es, ne peut étre en méême temps
supérieur à 2 et inférieur à 6.

M. Bertrand s’est occupé ensuite avec succès de cette
même question, et il est parvenu à démontrer générale-
ment, et pour la première fois, que :

L'indice d'un système de substitutions conjuguées,
à/l)l‘l)lé@$ avec n lel,[;‘e.ÿ, ne peut être en meéme temps
supérieur à » et inférieur à n (*).

Toutefois la démonstration de M. Bertrand repose sur
un postulatum qui semble absclument étranger à la
théorie, et, à ce point de vue, elle n’est pas compléte-
ment satisfaisante. Le postulatum dont il s’agit a été
démontré au n° 403, etil consiste en ce que :

Si l'onan>7, il y aau moins un nombre premier
= n
compris entre … et m—2,
2

(*) Journal de l’École Polytechnique, KXX° Cahier,