3()8 COURS D‘.‘\]4GI'ÏBIHC SUPÉRIEURE.

deux lettres quelconques données, a;, a;; comme la sub-
stitution U = (ag, @, @») appartient à G, il en est de
mème de TUT-!=(b0, d;, a;); donc le système G ren-
ferme toutes les substitutions circulaires du troisième
ordre qu’on peut former avee n — 1 des lettres données,
ce qui est contre l’hypothèse. '

S1i T substitue be et b, à à et a;, a; à as, la substitu-
tion U= (ao,d1,») appartenant à G, il en seta dè même
de TUT-! = (b9, b4, a;). Or cette dernière substitution
remplace a; par by, et b par b,; on rentre donc dans
le cas précédent, qui est incompatible avec notre hypo-
thèse, comme on vient de le voir,

[L résulte de là que la substitution T ne peut qu’échan-
ger les lettres b,, b, entre elles; elle sera donc de. la
forme T=(b0, b4).S,S étant une substitution de G'. On
VOit aussi que le Sy ystème G s’'obtiendra en mu|lx,ulmnî

entre eux le

 

système G" et, le système formé des deux

 

substitutions 1, (by, 6,). En conséquence, l’ordre du
, 05 1) 1

système G est double de l’ordre du svstème G.

 

\rmanque. — La démonstration précédente exige que
le nombre des lettres @ soit au moins égal à 3, et que
l’on ait en conséquence n >4. Le théorème ne subsiste

pas pourn=4.

CoroLLAIRE. — Si un système de substitutions conju-
guées relatif à n lettres renferme les

N

I 2.3...(’1_2):ÎÎ1)

subsli!l:li0n.S‘jbl'}m!@.æ‘ avecn— 0» des lettres données, mais
qu'ilne renferme pas toutes celles qu’on peut former
avecn—1 lettres, son ordre sera égal au quotient de N

[
> n(n—1
par l’un des deux nombres ————)
2

» n(n—1). Si le sys-