SECTION IV.°— CHAPITRE IL. 3o1
dire, le système auquel U appartient renfermera une
autre substitution U’ changeant aussi D en D’. Appli-
quons successivement les trois substitutions U, V, U—!
à l’arrangement
ABCD...K.

Par la substitution U, cet arrangement devient. d’abord
ABCD-:.K;

il se transforme ensuite en

BCD'...KA

par la substitution V. Enfin, comme la substitution U
change D’ en D, elle nous donnera l’arrangement

BGD. A

que l'on aurait obtenu tout d’abord en appliquant la
substitution V à l’arrangement primitif; on a donc

VUN “d'où--Ve UV.

H résulte de là que les systèmes conjugués P, Q, R, ...
sont échangeables entre eux deux à deux. D'ailleurs un
produit tel que V...RQP, formé avec des substitutions
de ces divers systèmes, ne peut se réduire à l'unité à
moins que tous ses facteurs ne se réduisent eux-mêmes

,

à l’üunité ; car, s’il en était autrement. on aurait
— V—1
..RPQ = V—,

ce qui est impnssihh‘, puisque la substitution contenue
dans le premier membre est impropre à déplacer les
groupes de lettres que V-! échange entre eux. On voit
donc que l’on obtiendra un système de substitutions con-

m m m

juguées d’ordre n}" n3'+ n3s,.., en multipliant entre eux
les systèmes P, Q, R, ...

CororLAirEe 1. — Ætant donné un système de n let-