290 COURS D‘ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

où i a une valeur quelconque, si l’on prend seulement les
substitutions S qui satisfont à la même égalité en impo-
sant la condition que : soit congru, suivant le module u, à
une puissance de e, les substitutions de la suite (1) forme-
ront encore un système conjugué. Effectivement, si l’on
suppose que dans les égalités (2) et (3) à et j désignent
deux puissances de e, le produit ij sera lui-même une
puissance de e, et, en vertu de l’égalité (6),1e produit S, S2
appartiendra à la suite (1). On peut donc énoncer le théo-
rème suivant :

Tuéonème V. — Une substitution quelconque T,
d’ordre u, étant formée avec n lettres, si l’on forme
toutes les substitutions S telles, que le produit STS7! se
réduise à une puissance de ‘T, dont l’exposant soit
congru, suivant le module u, à une puissance d'un
nombre donne e lï/)]](Ll‘[(?ll(lll[ à l’ea‘po.«‘zmt 6, par rap-
port au module Es les substitutions S constitueront un
système conjugué d’ordre 9M. Lorsque le nombre u.
admet des racines primitives, O peut étre un diviseur

quclconque de 9(u).

Ce théorème V comprend le théorème III comme cas
particulier; il se confond avec celui-ci quand on fait9=1
et, par suite, e= 1. Mais il ne comprend pas le théo-
rème IV, parce qu’il n’existe pas en général de racines
p1‘imi[iv05 pour un nombre composé. Cette extension du
théorème III a été indiquée par M. C. Jordan, dans un
Mémoire qui fait partie du XXXVIII° Cahier du Journal
de l’Ecole Polytechnique.

CoroLLAIrE I. — On peut former, avec n lettres, des
systèmes de substitutions conjuguees d’ordre ne(n) et

no(n

d’ordre __>7 t étant un diviseur convenable de n. En
ë;

pa1‘[[c:u/icz', sin est un nombre premier, on /)CUI_/À)7‘/…:/“