SECTION 1V, — CHAPITRE II. 28'7

Soit aussi
b= ((ll1 25 ]7h ])59 2M3 ])[)v (L3_>

une substitution circulaire d’ordre p formée avec les
lettres ,, à», a; et p—3 autres lettres données 54,
bz, —, bp: On aura

(@,, @2)S = (a,) (@9, 643 D3s ». -, Bp, @3)»
et, en multipliant, à gauche, par (a;, à3),
TS — (a1, A3; 43, D4s Be, — <, Op)-

Par hypothèse le système proposé renferme toutes les sub-
stitutions circulaires d’ordre p : donc les substitutions TS
et S-! doivent y figurer ainsi que leur produit T, qui est
l’une quelconque des substitutions circulaires formées
avec trois des lettres données.

Si le nombre p est pair, le système proposé comprend
les produits de transpositions, en nombre impair, qui
équivalentaux substitutions circulaires d’ordre p ; l’ordre

de ce système est donc supérieur à —, et, en consé-
; 2

quence, 1l est égal à N.

431. Tuéorème IN. — Une substitution quelconque T
étant formée avec n lettres, les diverses substitutions
des mémes lettres qui sont échangeables avec T consti-

tuent un système conjugué.
En effet, soient

L Sl) S"v .. S.\X—1

les M substitutions échangeables avec T, parmi lesquelles
figure évidemment l’unité. Nous avons vu que le produit
de plusieurs de ces substitutions est lui-même une substi-
tution échangeable avec T; ce praduit fait donc partie de
la suite précédente, et, en conséquence, celle-ci forme un