286 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
En effet, toute substitution circulaire d’ordre p équi-
vaut à p — 1 transpositions; on a

/ d [ \ \ Z
(n 1s Cap ce == (O p 1 ) (20,-2p- 0 )<- 01 s} (@os O1)-

 

430. Tnréorème IT.

Jerme toutes les substitutions circulaires dont l’ordre

Si un système (‘()/.‘j113‘11(}' ren-

est un nombre donné p égal ou inférieur à n, l’ordre

; ; ; n ;
du système conjugué est N ou — - Cet ordre est toujours
, Z

(Ëg‘(ll à N si p est pair.

Le théorème est évident, dans le cas de p = 2; carle

système proposé contient toutes les transpositions et son

 

ordre est égal à N. Dans le cas de p—3, le système pro-
posé renferme la substitution circulaire

fay, Z, 43 ) = (a,, @ ) (G;, Aa)

des trois lettres données @;, d2, @3 et 1l contient aussi la

substitution

LDN e :
(”â- @3, U ) — (A3, An ) ( ns A3 )»

si, le nombre » étant supérieur à 3, a, désigne une lettre
nouvelle. Le produit de la première substitution par la

seconde est
(93, @ ) (@, A2)

et ce produit doit figurer dans le système proposé. Donc
celui-ci renferme toutes les substitutions qui équivalent à

un nombre pair de transpositions, et son ordre est ainsi
. N E
au moins égal à —; d’ailleurs cet ordre est un diviseur
f =

T

de N, par suite il est égal à — ou à N.
=

Le cas de p >3 se ramène facilement au cas de p=3.

 

En effet, soient ày, à», à3 trois quelconques des lettres
données, et posons

- \ E v.4= \
T = ( 4,, A2, A3) = ( @1, A3 ) ( 19 A2).