SECTION IV. — CHAPITRE IT. 285

S1 T fait partie du système (1), les suites (2) et (3) for-
meront des systèmes conjugués identiques à (1); mais,
si T n’est pas compris dans le système | 1), chacune des

À

suites (2)et (3) se composera, comme on l’'a vu précé-
N es e ;

demment, des — substitutions qu1 n'appartiennent pas
2

au système (1). Dans tous les cas, les suites (2) et (3)
offrent lesmêmes substitutions, etl’ona, en conséquence,

quel que soit i, pour une certaine valeur de 7,

TS,=S;,T ou TS;T— S;s

 

d’où il résulte que le système (1) renferme toutes les sub-
stitutions semblables à l’une quelconque de celles qui y
sont contenues. Ce système ne renferme donc aucune des
transpositions ; car autrement il les renfermerait toutes,
et son ordre serait égal à N, ce qui est contre l’hypothèse.
Supposons que T désigne maintenant une transpo-
sition, les suites (1) et (2) comprendront toutes les
N substitutions des n lettres, et ces substitutions ne feront
que s’échanger entre elles, si on les multiplie par une
transposition U. Oril est évident, d’après ce qui précède,
que, par cette multiplication, la suite <I:) se transformera
dans la suite (2); donc à son tour la suite (2) se changera
dans la suite (1), ce qui montre que la substitution UT
fait partie du système (1). Ce système comprend ainsi
toutes les substitutions que l'on obtient en multipliant
deux transpositions entre elles, et il renferme, en consé-
;
quence, les £ substitutions qui équivalent chacune à un
nombre pair quelconque de transpositions,

CoroLLaire. — Le système conjugué d'ordre — @en-
» 2

ferme toutes les substitutions circulaires d ‘ordre impair,
et iln'en renferme aucune d'ordre pair.