SECTION IV. — CHAPITRE IT. 283
tipliant les substitutions (1) par T, soit à droite, soit à
gauche.
Considérons maintenant deux systèmes de substitu-
tions conjuguées,
r u sT

r " m
', Î1y T27 r37 sOL 1y41;

geables

entre eux lorsque tout produit de la forme T;S; sera en

nous dirons que ces deux systèmes sont échan

même temps de la forme S T;. Si l’'on a jJ = , quels
que soient : et j, le premier des deux systèmes propo-
sés coïncidera avec le système semblable que l’on en
déduit en multipliant ses substitutions à gauche par T;
et à droite par T7 *. Sil’on a en même temps / =i,j=j,
quels que soient 7 et 7j, deux substitutions quelconques,
prises dans les deux systèmes proposés, seront échan-
geables entre elles.

Du problème général qui fait l’objet principal de la
théorie des substitutions.

428. Le problème général que l’on a en vue dans la
théorie des substitutions peut être énoncé dans les termes
suivants :

Quels sont les systèmes de substitutions conjuguées

que l'on peut former avec n lettres données?

La solution de ce problème serait, pour l’Algèbre, de
la plus haute importance ; aussi Lagrange et, après lui,
plusieurs géomètres éminents se sont-ils occupés de
cette question difficile. Mais, malgré leurs efforts, 1ls
n’ont pu atteindre le but proposé, et l« Science ne possède
aujourd’hui sur ce sujet qu’un petit numbre de propo-

sitions générales que nous allons établir ici.