SECTION 1V. — CHAPITRE IT. ‘°"_()

les u substitutions du système P ; ces substitutions appar-
tiennent à G, par hypothèse, et l'on a m >u. Soit T,
l'une des substitutions de G qui n’appartiennent pas au
système T, c’est-à-dire à la suite (1); si l’on multiplie,
à droite, par T, les termes de cette suite, les produits

(2) T S EN

que l’on obtiendra, seront compris parmi les substitu-
tions:du système G; d’ailleurs, deux quelconques de ces
substitutions (2) sont évidemment distinctes et aucune
d’elles ne saurait appartenir à la suite (1). Pour établir
ce dernier point, il suffit de remarquer que l’égalité
S/'Tl

car le produit S7!*S; appartient nécessairement au sys-

= S;entraînerait T, = S7!S,, ce qui estimpossible,

 

tème P, tandis que, par hypothèse, T, ne fait pas partie
de ce système : il résulte de là que l’on a m= 2p, ou
m> u . Sim est égal à 2yu, le théorème est démontré;
soit donc m> au, et désignons par Ts l’une des substi-
tutions de G qui n’appartiennent à aucune des suites (1)
et (2). En multipliant à droite par T» les substitu-

tions (1), on obtiendra / substitutions nouvelles,

(3) T3, S1T2, S2T2, »< +5 Sy—s T2,

qui appartiendront au système G ; elles seront distinctes
entre elles et distinctes des substitutions (1); en outre,
elles sont distinctes des substitutions (2), car l’égalité
S.T,=

l’hypothèse, car le produit S7*S;T, fait évidemment

S;T, entraînerait T,=S7'S;T4, ce qui estcontre

 

partie des substitutions (2). Il résulte de là que m = 34

oum>3y. Il est clair que l’on peut poursuivre de cette

manière jusqu’à ce que l’on ait épuisé toutes les substi-

tutions du système G, et que l'on aura en conséquence
m== qh

4 désignant un nombre entier.