276 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

obtiendra une substitution qui sera formée de n—1 Æ 1
cycles; ce premier produit, multiplié par la troisième
transposition, donnera un nouveau produit dans lequel
le nombre des cycles sera n—1Æ 1 1, et ainsi de
suite; en sorte que, après avoir exécuté la multiplication
des v.transpositions, on se verra conduit à l’égalité

2I TS

dans laquelle le nombre des unités positives ou négatives

à

 

ajoutées à n sera égal à y, Or, si l’on donne le signe
l’une des unités qui doit avoir le signe +, on diminue
de 2 unités le second membre de notre égalité. Il s’ensuit

donc que l’on a

a=sn—v+2% ou v—(n—c)+2k,

et, en conséquence, le nombre des transpositions suc-
cessives par lesquelles on peut effectuer une substitu-
tion donnée S est toujoursde même parité, quelle que soit

la marche que l’on suive pour former les transpositions.

423. On peut, d'après cela, distinguer en deux genres
les N 1.2...n substitutions formées avec n lettres.
Le premier genre comprendra les substitutions qui
équivalent à un nombre pair de transpositions, tandis
que celles qui équivalent à un nombre impair de trans-
positions constitueront le second genre.

Soient

15043 90; D4

les substitutions du premier genre, parmi lesquelles
figure l’unité, et

T0, T19 T2: T3) se

celles du deuxième genre. Il est évident que ces deux

suites se changeront l’une dans l’autre, si on les multiplie