SECTION IV. — CHAPITRE L 271

tutions échangeables avec une substitution donnee S,

le produit TU, ..., obtenu en multipliant entre elles
plusieurs des substitutions T, U, .. . , sera également une
substitution échangeable avec S.

En effet, on a, par hypothèse,

T—STS#, U=—SUS-1,
et, en multipliant,
TU = STS-! SUS—*,

les deux facteurs consécutifs S et S7! peuvent être

remplacés par leur produit 1 dans le second membre;

on a donc

TU=—STUS * ou  TU=S <1V> .

 

ce qui montre que la substitution TU est échangeable
avec S. On en conclut immédiatement que toutes les
substitutions de la forme TUV... sont pareillement
échangeables avec S.

421. Tuéorème II. — Si m désigne un nombre pre-
mier avec l'ordre d’une substitution donnée S, il existe
des substitutions qui satisfont à l’égalité

(1) sm—TST—},

et leur nombre est précisément égal au nombre des
substitutions qui sont éclzazzgœables avec S.

Remarquons d’abord que l'égalité S” — TST-* ne
peut avoir lieu que si m est premier avec l'ordre de S,
car les substitutions TST-! et S sont semblables et,
en conséquence, du même ordre; d’ailleurs S et S ne
peuvent être du même ordre que si m est premier avec
l’ordre de S.

Cela posé, soient (C) l’un quelconque des cycles de S
ct (F)= (C)” la puissance mi*"e de ce cycle; il est