27O COURS D'ALGEBRE SUPÉRIEURE.

Le nombre x défini par la congruence

 

xp=0 (mod. ë)
a pour valeur x =—1; on a donc

1)'+:Q3, 1)2=Q 3,

et en posant

R— PQ=(a03 bs3 Cy5 A 15 Ds €5, 25 D13 C0s A35 Day C13 Ayy Dg5 C95 Gs D43 C3)»

on trouve

Q::R", P— TPs

419. Supposons maintenant que l’on demande le

nombre des substitutions échangeables avee une substi-

tution donnée S. Soit T une telle substitution, on aura

 

 

Ss — TST—},

et nous avons vu que la substitution TST—* s’obtient,
quel que soit T, en exécutant la substitution T dans
les cycles de S; donc il y a autant de substitutions T
satisfaisant à l’équation précédente qu’il y a de manières
différentes d’exprimer S sans déplacer les parenthèses
qui entourent les cycles, c'est-à-dire sans altérer le
nombre des lettres contenues dans chaque cycle. Ce
nombre est précisément celui qui a été représenté par M
au n° 414, et qui a pour valeur

\ / nu Ma m
M— (1.2...,) (1.2...M9) 0 ( 1200 M ) MMS ISS

\ d 2 œ

my; désigne le nombre des cycles d’ordre n; dansla substi-

tution S, et n étant le nombre total des lettres, on a
n—mn,+Mmns Æ .H Mattes

420. Nous terminerons l’étude des substitutions échan-

geables entre elles, en démontrant deux propositions

importantes qui nous seront utiles dans la suite.

Tnaéorème I. — Si T, U. V, ..., W sont des substi-