SECTION IV. — CHAPITRE I. 26Î

Soient S et T deux substitutions que nous supposons

échangeables entre elles; on aura
ST—TS ou S=TST1.

Nous avons vu que la substitution TST-! se déduit de
la substitution S en exécutant dans les cycles de celle-ci
la substitution T ; donc, pour que les substitutions S et T
soient échangeables entre elles, il faut et il suffit que la
substitution S reste la même quand on exécute sur les
lettres de ses cycles la substitution T. En conséquence, la
substitution F ne peut produire sur S que des échanges
entre des cycles d’un même ordre, et, dans un même
cycle, le simple déplacement qui permet d’amener une
lettre quelconque à la première place, sans altérer l’ordre
circulaire des lettres du cycle. Chacun de ces échanges
dont nous venons de parler, entre des cycles d’un mème
ordre, équivaut, s’il n’est pas circulaire, à plusieurs
échanges circulaires effectués simultanément sur des
cycles différents. Soient (Co), (C1), , (C,4) des
eycles de même ordre qui doivent être ainsi échangés
circulairement. La substitution T peut avoir, en outre,
pour effet, comme nous venons de le dire, le déplace-
ment qui permet d’amener une lettre quelconque à la
première place dans chacun de ces cycles; mais l'arran-
gement C, par lequel se forme le cycle (Co) ayant été
choisi à volonté, on peut toujours prendre, pour former
le cycle (C4 ), l'arrangement C, que la substitution T doit
mettre à la place de C ; pareillement, pour former les
cycles suivants (C»), ..., (C—; ), on peut choisir les
arrangements C», ..., C,+ qui se substituent respec-
tivement à C,, Ca, - ., C, - Quant au dernier arran-
gement C,_,, 1l ne sera pas en général remplacé par Co,
mais par un autre arrangement C tel, que les cycles (Co )
et (C',) soient identiques.

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