SECTION 1V. — CHAPITRE I. 253

410. Une substitution est dite regulière, lorsqu’elle
est circulaire ou composée de facteurs circulaires d’un
même ordre. Toute substitution qui n’est pas dans ce
cas est dite irrégulière.

Tréorème INT.— La puissance pième d’une substitution
cürculaire S d’ordre v est elle-méme circulaire si u est
premier à v. Mais, si les nombres petv ont un plus g/'[llld
commun diviseur 0 supérieur à 1, S* sera une substitu-

tion régulière composée de 6 cycles d’ordre %

En effet, disposons, comme nous l’avons déjà fait plus
haut, les v lettres de la substitution circulaire S aux
points de division d’une circonférence partagée en v par-
ties égales. La substitution S* aura pour effet de rem-
placer chaque lettre par celle qui en est éloignée d’une
quantité égale à j fois la viême partie de la circonférence.
Si donc, partant de l’un quelconque des points de divi-
sion et marchant dans le même sens jusqu’à ce qu’on soit
revenu au point de départ, on considère les points de
division de y en u, les lettres placées à ces différents
pornts devront subir par l’effet de S* une substitution cir-
culaire. Orle nombre x de ces lettres doit être tel, que le

produit de u — par x soit le plus petit multiple possible
v

de 27, ou, en d’autres termes, tel que px soit le plus petit

des nombres divisibles par v; si donc 6 désigne le plus
sc ; y
grand commun diviseur desnombresuet v, on aura x —

Il résulte évidemment de là que la substitution S* est le
produit de 6 substitutions circulaires renfermant chacune

v . .
Zlettres. Si u et v sont premiers entre eux, ona/=1

et la substitution S* est circulaire.