292 COURS D,ALGÈBRE SUPÉRIEURE,.

et qui représentent évidemment des substitutions iden-
tiques; ainsi, dans le cas d’un système de six lettre:
a, b, c, d, e, f, la substitution

q /debaef
sA (abcdcf

pourra s’écrire
S=(a, d) (b, c) (e) (f).

409. Tuéonème I. — L'ordre d'une substitution quel-
conque est égalau /)lu.î pelit mulliple commun des nom-
bres qui expriment les ordres des cycles de la substi-
tution.

Soit

S— C; GyGe,

la substitution S décomposée en cycles, Si v désigne
l’ordre de S, on aura
S—
ou
ce —1,

car il est évidemment permis d'intervertir l’ordre des

facteurs circulaires de S*. Pour que la précédente égalité
subsiste, il faut et il suffit que l’on ait

 

CC =O —A SS

or, si &, désigne l’ordre du cycle Cy, les seules puis-
sances de Cp qui se réduiront à : ont pour exposants
Œo, 2%, 3Xo, … ! donc y est un multiple de #4. On voit de
même que l'égalité S* 1 exige que v soit divisible par
les ordres ,, aù, 7 des cycles C,, C,,- C,, ..:, et
comme cette condition est d'ailleurs suffisante, l’ordre
de S est précisément égal au plus petit multiple commun

des nombres &o, %, X2, - ..