SECTION IV. — CHAPITRE T. DOI

tons cette substitution. Soit a l’une des lettres qu’elle dé-
place et qu’elle remplace par une autre lettre b; b elle-
même se trouvera remplacée par une troisième lettre c,
et, en continuant de cette manière, on tombera nécessai-
rement sur une lettre / qui se trouvera remplacée par a.
Or 1l est évident que les lettres que l’on a ainsi rencon-
trées ont subi la substitution circulaire ( a, b, €, - - Gn
En prenant une des lettres restantes, et opérant de la
même manière, on formera un nouveau groupe de lettres
qui auront subi une substitution circulaire, et l'on pourra
continuer ainsi jusqu’à ce qu'on ait épuisé toutes les
lettres que déplace la substitution S.

Si l’on désigne par Co, Cy, Cz, - . - les diverses substi-

tutions circulaires que nous venons d'obtenir, on aura
S =C Oy es

formule qui exprime la valeur de S décomposée en fac-
teurs circulaires. Ces facteurs sont dits les cy cles de la
substitution S. Les cycles qui ne contiennent que deux
lettres prennent le nom de transpositions (n° 235).

Considérons, par exemple, la substitution

g — (hkdfbjageci
; abcdefghijk

,

cn opérant comme nous l'avons indiqué, on trouvera
S —{a, h,.g) (6, 4 1,6) ( E

Lorsqu’une substitution Sne déplace pas quelques-unes
des lettres du système que l’on considère, ces lettres ne
figurent pas dans la valeur de S réduite à sa plus simple
expression, ni dans les facteurs circulaires dont S est le
produit. Si cependant on veut mettre ces lettres en évi-
dence, on le pourra en introduisant dans S des cycles

formés chacun avec une seule des lettres dont 1l s’agit,