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240 COURS D ALGEBRE SUPÉRIEURE.

S'= 1, les termes de la suite précédente seront effecti-
vement distincts; car l’égalité S"+" S# entraînerait
S/ 1, ce qui n'’a pas lieu, puisque v’ est inférieur à v.

On nomme ordre d’une substitution S le plus petit des
exposants v tels que l'on ait S— 1. En d’autres termes,
l’ordre d’une substitution est le nombre de fois qu'il faut
appliquer successivement la substitution à une permu-
tation pour reproduire cette permutation. On voit que
les seules puissances de S qui se réduisent à l’unité sont
9 es

Nous conviendrons d’étendre l'égalité SYstr== S7 aux
valeurs négatives de r; changeons donc 7 en —7, on

aura
Sya—r — s—-rY

et cette formule définit ce que nous appelons puissances
négatives d’une substitution S, le nombre q étant choisi
de manière que vg—7 soit positif. Si, en particulier, on

pose r = 1, On pourra prendre g = 1, et l’on aura

S— S.

Les substitutions S et S=! ont pour produit l’unité;
elles sont dites inverses l’une de l’autre. Si l’on a

-(i)

A

sm= Ân «
A,

Si une substitution S est d’ordre v, la puissance uiêwe

on aura évidemment

= y se
de S sera de l’ordre ; 9 désignant le plus grand commun

diviseur des nombres p et v. En effet, pour que l'on ait