&FCTION IV. — CHAPITRE I. 247

Ordre d’une substitution.

406. Soit S une substitution quelconque, la série des
puissances de S, en partant de S° ou 1, sera

1s
et, comme le nombre total des substitutions est limité,
si l’on prolonge suffisamment la précédente suite, on

verra nécessairement se rcpr0duirc des substitutions
déjà obtenues. Supposons que l’on ait

setv— s# ;

comme le premier membre de cette égalité est égal à
S*.S*, on peut écrire

Sys#e— Sp,

d’où il suit que la substitution S’, appliquée à une per-
mutation quelconque, ne produira aucun déplacement
des lettres; en d’autres termes, cette substitution est
identique et l'on a

Sl

On conclut de cette égalité, quel que soit l’entier q,
(S rotm t
ct, en multipliant par la puissance 7" de S,
sT= Sh

Il résulte de là que la série des puissances de 5 est pé-
riodique, et que la période se compose des substitutions

s80e 85es

Si l’on suppose que v soit le plus petit nombre tel que