220 COURS D'ALGEÈBRE SUPÉRIEURE.

logarithme du produit de tous les nombres entiers qui
ne surpassent pas x,

\ — I
T(x)>logy27 + æloge — = — ;10gx,

(3) E ; ;
T(.r)<log\/2r—+.rlogæ——æ—!— —2—10g‘r+ .
2

Ces inégalités (3) sont celles que nous voulions obtenir.

Sur latotalité des nombres premiers compris entre deux
limites donnees.

398. Le problème qui consiste à déterminer combien
il y a de nombres premiers compris entre deux nombres
donnés n"àpas encore été résolu et semble présenter les
plus grandes difficultés. M. Tchébichef est le premier qui
se soit occupé avec succès de cette question; dans un
Mémoire présenté en 1850 à l’Académie impériale des
Sciences de Saint-Pétersbourg, cet habile géomètre a
donné le moyen d’assigner deux limites entre lesquelles
est nécessairement compris le nombre qui exprime
combien il y a de nombres premiers entre deux nom-
bres donnés. M. Tchébichef a déduit de son analyse la
démonstration d’un postulatum sur lequei M. Bertrand
avait fondé la démonstration d'un théorème important
dont il sera question dans la Section suivante. Ce postu-

laium C()l]5i5lC en ce un ;

Il y a toujours au moins un 710771])I‘(?/)I'(?Hli(îl' compWis

3

entrea et %a — 2 si a est supérieur à
>

Bien que je sois parvenu à démontrer le théorème dont
il s’agit sans recourir à aucun postulrzlum, ainsi qu‘0n le

verra dans la Section IV, je ne crois pas inutile de pré-