SECTION TII. — CHAPITRE v. 22_!" .

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Déêtermination de deux limites entre lesquelles reste
comprise la somme des logaz‘it7mzes népériens de tous
les entiers qui ne surpassent pas un nombre donneé.

397. Soit à un nombre entier positif; faisonsx=a—+1
dans la formule (19) du n° 393 et retranchons ensuite
iog(æ+1) de chaque membre; faisons en même temps
x == a dans la formule (20) du même numéro, on aura

log1.2.3...a>l0g\/ä+(a+x)log(a+1)—(a+x)— â log(a+1),
(G) ;

-— I J
( log 1.2.3...a<]()g‘/2n+alnga—a+;loga+ ;

 

120

Cela posé, désignons par x une quantité positive .
quelconque au moins égale à 1, et soit à le plus grand
entier contenu dans x. On a, par hypothèse,

aî.z‘<a+z et aîl,

et l’on en déduit

(a +1— â> [log(a +1)— 11> (.æ:— â> (logæ — 1),

Te I I ï
a+—)(lnra—r +_=,(_-+—) logæ —1 u
< 2/ \°5 ) Deft, °( E )+12,

A

Æ

ou

(zz+1)log(a+1)—— (a +1) —âlr:g(a +1)

I
> æxlogz—x— ;lngæ,

—
N
..

I I
aloga — a + — loga + —
2 I12G

PE 1 I
Z æ log x — x + —logæ + —.
< 5 06

n

Des inégalités (1) et (2) on conclut, en appelant T (x le

S. — Àle sup,, I. 15